Calcolatore di Fattoriale

Calcolatore di Fattoriale – Calcola n! con Passaggi

🔢 Calcola il fattoriale (n!) per qualsiasi numero da 0 a 170. Vedi la scomposizione passo dopo passo, permutazioni, combinazioni e applicazioni nel mondo reale.

Che cos’è un fattoriale?

Il fattoriale di un intero non negativo n, indicato come n!, è il prodotto di tutti gli interi positivi minori o uguali a n. Rappresenta il numero di modi per disporre n oggetti distinti.

Formula del fattoriale

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1

• 0! = 1 (per definizione)
• 1! = 1
• n! = n × (n-1)! (definizione ricorsiva)

Esempi di fattoriale

• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
• 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3,628,800
• 0! = 1 (caso speciale)
• 20! = 2,432,902,008,176,640,000

Perché 0! = 1?

Esiste esattamente un modo per disporre zero oggetti: la disposizione vuota. Questa definizione garantisce che le formule matematiche (soprattutto in combinatoria) funzionino correttamente. È anche coerente con la formula ricorsiva: n! = n × (n-1)!, quindi 1! = 1 × 0! implica che 0! debba essere 1.

Permutazioni

P(n,r) = n!/(n-r)!

Numero di modi per disporre r oggetti da n oggetti distinti, dove l’ordine conta.

• Esempio: P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60
• Uso: Posizioni sul podio in una gara (1°, 2°, 3°)

Combinazioni

C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)

Numero di modi per scegliere r oggetti da n oggetti distinti, dove l’ordine non conta.

• Esempio: C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/(6×2) = 10
• Uso: Numeri della lotteria, selezione di un comitato

Zeri finali in n!

Gli zeri finali sono creati dai fattori di 10 = 2 × 5. Poiché ci sono sempre più fattori di 2 che di 5, dobbiamo contare solo i fattori di 5:

Zeri = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ...

• 10! ha 2 zeri finali (10, 5)
• 25! ha 6 zeri finali (5, 10, 15, 20, 25×2)
• 100! ha 24 zeri finali

Applicazioni nel mondo reale

• Crittografia: numero di possibili chiavi di cifratura
• Pianificazione: modi per organizzare appuntamenti, compiti, eventi
• Genetica: possibili sequenze di DNA/proteine
• Probabilità: calcolo delle probabilità in giochi e lotterie
• Informatica: analisi della complessità degli algoritmi
• Produzione: organizzazione delle linee di produzione
• Logistica: problemi di ottimizzazione dei percorsi

Valori famosi del fattoriale

• 52! ≈ 8.07 × 10⁶⁷ (combinazioni nel mescolamento delle carte)
• 70! ≈ 1.2 × 10¹⁰⁰ (supera gli atomi nell’universo ≈ 10⁸⁰)
• 100! ≈ 9.3 × 10¹⁵⁷ (158 cifre!)
• 170! ≈ 7.3 × 10³⁰⁶ (massimo in JavaScript)

Approssimazione di Stirling

Per grandi n, calcolare i fattoriali esatti è poco pratico. L’approssimazione di Stirling fornisce:

n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ

Questa approssimazione diventa più accurata all’aumentare di n. Per n = 10, l’errore è < 1%.

Tasso di crescita del fattoriale

Il fattoriale cresce molto più velocemente delle funzioni esponenziali o polinomiali:

• Polinomiale: n² = 100 per n=10
• Esponenziale: 2ⁿ = 1,024 per n=10
• Fattoriale: n! = 3,628,800 per n=10

Doppio fattoriale

Il doppio fattoriale (n!!) moltiplica ogni altro numero:

• n!! = n × (n-2) × (n-4) × ... × 2 o 1
• 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105
• 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384

Subfattoriale (Derangements)

Il subfattoriale !n conta le permutazioni in cui nessun elemento appare nella sua posizione originale:

!n = n! × (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)ⁿ/n!)

Esempio: !3 = 2 (disposizioni di ABC in cui nessuna lettera è nella posizione originale: BCA, CAB)

Implementazione in programmazione

Approccio iterativo:

function factorial(n) {
    let result = 1;
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        result *= i;
    }
    return result;
}
            

Approccio ricorsivo:

function factorial(n) {
    if (n === 0 || n === 1) return 1;
    return n * factorial(n - 1);
}
            

💡 Consiglio: quando calcoli permutazioni o combinazioni, elimina i fattori comuni prima di eseguire i calcoli per evitare overflow. Per C(100,2) = 100!/(2!×98!), calcola come (100×99)/2 = 4,950 invece di calcolare separatamente i grandi fattoriali!